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1-2-3... : Si les nombres m'étaient contés

par Pierre Laharrague

« Les nombres sont l’essence de toutes choses. »

Pythagore . Ve siècle avant J. C

 

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  siècles après, à l’aube du IIIe millénaire alors que tout où presque est numérisé, cette affirmation nous apparaît étonnamment juste.

Elle est le fruit d’une longue évolution commencée il y a 30 000 ans, soit 300 siècles en arrière, au cours de laquelle l’Homme a inventé puis perfectionné l’art de compter et finalement découvert l’immense champ des mathématiques qui sont devenues le langage indispensable à la compréhension du monde dans lequel Il vit.

C’est cette très belle histoire que nous nous proposons de survoler.

L’expression d’un besoin

Nous sommes à l’époque du paléolithique supérieur: Homo Sapiens vit de chasse, de pêche, de cueillette, habite dans des grottes ou des abris, se groupe en famille et en tribus. Il est nécessaire de pouvoir dénombrer diverses choses: hommes, bêtes, objets... Auparavant, on ne savait distinguer qu’entre l’unité et la multitude. Il n’est donc pas surprenant que le premier stade du dénombrement ait été réduit à 3 termes: un, deux et beaucoup (le mot trois a une origine indo-européenne qui signifiait beaucoup comme en témoigne la racine latine tres). Une répétition du type un, deux, un et deux, deux et deux et deux permettait de compter jusqu’à 6.

Mais il est clair que le besoin de compter au delà se fit sentir. La méthode consista alors à exploiter notre capacité naturelle d’appariement, c’est à dire d’associer les objets de deux collections différentes deux à deux, l’une de ces collections étant une référence, par exemple les doigts de la main ou des deux ou les doigts des mains et des pieds. Ce faisant, on parvenait à la notion abstraite de nombre dès lors que 5 bisons ou 5 nuits pouvaient être appariés aux 5 doigts et que l’on pouvait utiliser le mot main pour compter ces objets de nature différente.

Les différents systèmes de numération

     - L’utilisation des deux mains est à l’origine de notre système décimal, à base 10.

    - L’utilisation des deux mains et des deux pieds est à l’origine du système à base 20, employé notamment par les Mayas, les Aztèques, les Celtes et les Basques.

     - On ne sait pas pourquoi les Sumériens utilisaient un système à base 60, mais ce système sexagésimal est toujours à la base de notre mesure du temps.

    - Nos ordinateurs, eux, font usage du système binaire pour des raisons évidentes de technologie: le courant passe ou ne passe pas dans un circuit.

    - D’autres systèmes ont aussi été utilisés: par exemple, la base trois, ou huit, ou douze.

Les premiers outils de numération

Il peut sembler surprenant de parler de systèmes et d’outils de numération à propos de groupes humains qui n’étaient pas parvenus au stade de l’écriture. Celle ci n’apparaîtra en effet que vers 3500 ans avant notre ère. L’Homme de l’époque sut compter avant de savoir lire, mais ces notions n’étaient pas conceptualisées comme elles le sont aujourd’hui : compter, par exemple, en base 10, signifiait grouper des supports comptables, disons des pierres, par tas de 10 puis grouper ces tas par dizaines et ainsi de suite.

    - l’usage de la main et des doigts

C’est probablement le plus ancien outil utilisé. La méthode se raffina au cours du temps passant du simple procédé élémentaire connu de nos enfants, à la possibilité, au Moyen Age, de compter jusqu’à 9999 selon une méthode semblable au langage des sourds-muets.

    - le bâton

Une encoche était gravée sur un os ou un bâton (par exemple, chaque fois qu’un animal était tué) et il suffisait alors de compter par appariement. Ce procédé permettait en outre de garder une trace, facile à archiver et à transporter et on pouvait aussi employer des os différents selon le type d’animal. On a retrouvé des os entaillés vieux de plus de 200 siècles.

    - le tas de cailloux

On les nomme aussi calculi, du latin calculus qui signifie petit caillou. La méthode consiste simplement à constituer un tas de cailloux pour les unités, par ex 10 cailloux unités, (en base 10), puis un caillou dizaine chaque fois qu’on aura compté 10 unités, etc. Ce système se perfectionnera jusqu’à donner la plus simple des machines à compter : l’abaque comportant des rainures parallèles garnies de billes, pour les unités, les dizaines, les centaines et des puissances de 10 supérieures. Connu depuis 8000 ans avant J.C., il dominera longtemps la technologie du calcul et ne sera interdit dans les écoles qu’en 1789. Son principe est néanmoins toujours utilisé notamment par les bouliers chinois.

L’apparition de l’écriture. Naissance du chiffre

Transportons nous dans la seconde moitié du IVe millénaire en Egypte et en Mésopotamie. Les civilisations égyptienne, sumérienne (entre Tigre et Euphrate) et élamite (Sud-Ouest de l’Iran), sont en pleine expansion : les premières villes se créent, l’élevage et le commerce sont florissants. Naît ainsi le besoin de consigner faits et pensées de façon durable. Cela provoque aussi une forte augmentation des besoins en calcul qui ne peut être assurée par le seul calcul mental. Il faut, dès lors que la mémoire a ses limites, associer au transport des marchandises un document infalsifiable spécifiant les quantités convoyées. C’est de ce besoin de listes comptables et plus généralement de documents administratifs que naît l’écriture simultanément dans ces deux régions et cette apparition aura une influence considérable sur l’art de compter.

    - La boule d’argile et les jetons

L’argile était un matériau abondant en Mésopotamie, facile à mouler et se conservant longtemps. Les Sumériens moulèrent donc des boules creuses dans lesquelles étaient enfermés des jetons (des calculis) ayant une signification numérique, chaque boule portant en surface le sceau du propriétaire. À l’arrivée, il suffisait de casser la boule et de compter les jetons selon leur valeur.

Le défaut de ce système est qu’il ne permettait aucune vérification intermédiaire. On l’améliora donc en enfonçant d’abord les jetons dans la boule avant de les y enfermer, de sorte que son contenu était maintenant apparent.

    - la tablette d’argile

Un progrès supplémentaire consista à remplacer boule et jetons par une tablette gravée de signes numériques, des cercles et des encoches tracés à l’aide d’un roseau taillé (un calame), la nature du produit étant indiquée par un pictogramme. Pour la première fois, les nombres étaient lus.

     - le clou et le chevron

Vers le milieu du IIIe millénaire, la technique d’écriture se simplifie avec l’apparition de l’écriture cunéiforme (de cuneus : coin). Les nombres vont être représentés à partir de deux signes fondamentaux, le clou et le chevron.

            

Les Sumériens utilisaient un système en base 60 qui était en partie positionnel, c’est à dire que 1 et 60 étaient désignés par le même symbole (le clou), la valeur attribuée au symbole dépendant de sa position ; le chevron quant à lui, symbolisait la dizaine.

Les Babyloniens pousseront à son terme cette technique du positionnement qu’utilisent tous nos systèmes modernes. A titre d’illustration, considérons le nombre suivant en écriture suméro-baylonienne :

     

Rang

60*60

60

unités
<--------------------------> espace <--------------------------------------> espace <---------------------------------------------------->

Dans notre système décimal, il donne :

(10+1)*(60*60) + (20+1)*(60) + (10+3) = 40873

    - un premier pas vers le zéro

L’exemple ci-dessus montre qu’un espace était utilisé pour distinguer l’ordre (ou le rang) des chiffres. Une variation consista à matérialiser cet espace par un signe conventionnel: le double chevron, autrement dit deux chevrons superposés. Plus tard, à l’époque séleucide (après la prise de Babylone par Alexandre le Grand en 311 avant J. C.), ce signe servit à marquer l’absence de chiffre d’un rang donné comme illustré ci-dessous :

soit, dans notre système: 1*{ 60*60] + 0* {60} + (10 +1) = 3.611

Toutefois , ce « proto » zéro n’était pas encore considéré comme un nombre à part entière, car que voulait dire ajouter ou retrancher « rien » à quelque chose ? Il faudra attendre plusieurs siècles pour qu’il acquière son véritable statut d’aujourd’hui et cela nous viendra des civilisations indo-arabe.

    - le chiffre dans les différentes civilisations

Après cela, les différentes civilisations ont écrit leurs chiffres en utilisant leur alphabet, c’est à dire qu’à une lettre était affectée une valeur numérique. Le chiffre est devenu une notion abstraite, indépendante de l’objet compté.

Égyptiens, Grecs, Hébreux, Romains, Mayas, Indiens, Arabes... ont utilisé des graphismes différents. Nous ne les illustrerons pas tous, nous limitant à deux d’entre eux, l’égyptien en écriture hiéroglyphe et l’indo-arabe d’où est issu le nôtre.

    * la 1ère ligne montre les chiffres d’origine indienne : hindi

    * la 2ème ‘’ ‘’ ‘’ arabes dits orientaux: écriture de droite à gauche

    * la 3ème ‘’ ‘’ ‘’ arabes occidentaux dits gubär, écriture de gauche à droite et rotation de certains comme le 2 et le 3

Le génie grec

Cette civilisation d’exception a imprimé à l’arithmétique (du grec arithmétiké, science des nombres ), un essor extraordinaire . Mettant en oeuvre une démarche fondée sur la démonstration rationnelle, elle donna ainsi naissance à la mathématique moderne dans laquelle sont apparues et continuent d’apparaître des branches nouvelles et dont nous sommes les héritiers.

Pour ne citer que quelques grands penseurs grecs, mentionnons :

    - Thalès, au VIe siècle avant J.C., célèbre pour avoir prévu une éclipse de soleil en 585, a laissé son nom à un théorème de la théorie des triangles. Il aurait été un des premiers à rapporter d’Égypte et de Babylone les premiers éléments de géométrie.

    - Pythagore, et son école, également au VIe siècle ; ayant découvert que des cordes vibrant simultanément émettent des sons harmonieux dès lors que le rapport de leurs longueurs est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont petits, ils placèrent le nombre entier à la base de toute connaissance. Ils rapprochèrent la géométrie de l’arithmétique et laissèrent leur nom à un célèbre théorème, qui était déjà connu des Babyloniens, des Indiens et des Chinois et dont on pense que le maître en apprit l’existence en Égypte où il avait étudié. Une conséquence de ce théorème est que le nombre √2 (qui mesure la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés 1) est incommensurable avec 1, c’est à dire qu’on ne peut pas écrire √2/1 sous la forme d’un rapport de 2 nombres entiers. Ceci choquait tellement les pythagoriciens qu’ils qualifièrent ce nombre dirrationnel, terme toujours utilisé aujourd’hui, et que le membre de l’école qui avait découvert cette incongruité, fut emmené en mer et jeté par dessus bord par ses collègues.

    - Euclide, IIIe siècle avant J.C. publia avec ses Éléments, l’œuvre la plus importante des mathématiques grecques. Il y présente des résultats provenant de sources diverses, au sein d’une structure devenue depuis le modèle de système logico-déductif associant théorèmes et démonstrations. Les Éléments comportent 13 livres, les livres VII à IX étant consacrés à la théorie des nombres.

Le renouveau arabe

Pendant leur domination, les Romains ne manifestèrent pas un grand intérêt pour les mathématiques : l’école platonicienne d’Athènes fut même fermée par l’empereur Justinien en 529 après J.C. Livres, écrits, professeurs se dispersèrent et se tournèrent vers l’Orient où un nouvel empire se constituait. À Bagdad , nouveau centre culturel au carrefour des civilisations orientale de la Perse et de l’Inde et occidentale des peuples hellénisés, fut créée une « Maison de la Sagesse » où seront traduites en arabe toutes les connaissances de l’époque.

Les développements que les mathématiciens arabes firent à partir de ces traductions, débouchèrent sur des résultats fondamentaux :

    - al Khwarizmi , 760-850 après J.C, l’un des plus importants d’entre eux, publia le premier traité d’algèbre, ce mot venant du mot « al-jabr » contenu dans le titre de son ouvrage. D’autres auteurs apportèrent une contribution déterminante en matière de résolution d’équations, le point culminant de la fusion des savoirs algébrique et géométrique revenant à al-Khayyan (1048-1131) dans son Algèbre. Rien de comparable ne fut ensuite réalisé jusqu’à Descartes.

    - ils adoptèrent la numération indienne avec cependant des modifications graphiques relativement importantes sur certains chiffres. Ce faisant, le « zéro » faisait son entrée comme chiffre à part entière. Sa présence est, en effet, attestée en Inde dès le Ve siècle de notre ère, figuré par un petit cercle nommé sunya (vide en sanscrit) qui deviendra sifr en arabe, puis zephirum en latin et finalement zéro en Occident.

- Remarque : les mathématiciens arabes ont sauvé la science grecque de l’oubli, mais leur apport ne se limite pas à cela. Ils démontrèrent une quantité de théorèmes en algèbre des polynômes, étudièrent les nombres irrationnels, inaugurèrent bien avant Descartes la géométrie algébrique, s’intéressèrent aussi beaucoup à la trigonométrie pour les besoins des mesures en astronomie stimulés par le rituel religieux islamique et leur calendrier fondé sur le mois lunaire. Ils disposaient ainsi de tables de sinus et cosinus très précises et là aussi, aucun progrès significatif ne devait intervenir avant trois siècles.

L’apport du Moyen Âge

L’abaque à jetons et la numération par les doigts furent largement utilisés pendant le Moyen Âge et même en pleine Renaissance, on vit encore la publication d’ouvrages sur ces méthodes (par exemple, en 1558, le titulaire de la chaire de mathématiques du Collège Royal publiait une Arithmétique par les gects).

Cependant, une autre forme de calcul faisait son apparition au XIIe siècle, liée à la traduction en latin des traités arabes. Beaucoup d’entre elles furent faites à Tolède après l’invasion de l’Espagne par les Omeyyades qui avaient été chassés en 750 de l’empire par les Abbassides et qui y fondèrent leur propre califat.

    - la table à poussière

Les 10 chiffres, dont le zéro, sont utilisés et les opérations fondamentales sont effectuées sur une tablette recouverte de sable, de poussière ou de craie, sur laquelle les chiffres s’écrivent et s’effacent facilement avec les doigts. Des méthodes (algorismes) sont enseignées comme par exemple le manuel scolaire Algorismus vulgaris de Jean de Sabrobosco publié vers 1205.

    - le «  Liber abacci »

Léonardo de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci, était fils d’un commerçant italien. À la suite de son père, il parcourut le monde arabe et à son retour, en 1202, il publia un livre qui bouleversera les anciennes méthodes de calcul et jouera également un grand rôle dans l’introduction des chiffres arabo-indiens en Europe. Ce livre, le Liber abacci (le Livre du calcul), décrit des algorithmes de multiplication avec les nouveaux chiffres, si performants qu’ils font paraître obsolètes les méthodes traditionnelles. Ces méthodes seront reprises plus tard par le moine Luca Pacioli (voir ci-aprés) et sont très proches de celles enseignées à nos écoliers d’aujourd’hui. Pour cela, Fibonacci peut être considéré comme un véritable précurseur de la Renaissance italienne. Le Liber abacci contient aussi beaucoup d’autres choses, dont la célèbre suite de nombres qui porte le nom de l’auteur, dont la nature nous donne de nombreux exemples d’application et que l’on retrouve aussi dans le fameux nombre d’or.

De la Renaissance à nos jours

Le Moyen Âge a produit une véritable révolution dans l’arithmétique. L’époque qui suivit conforta ces acquits en les affinant et en élargissant considérablement le domaine hérité du passé.

- En Italie, le moine franciscain Luca Pacioli publia en 1494 Summa de aritmetica dans laquelle il reprenait les méthodes de multiplication de Fibonacci associées à quelques autres et qui, en raison de sa large diffusion, imposa l’une d’elles dite « par l’échiquier ». D’autre part, l’Université de Bologne regroupait les meilleurs arithméticiens et l’on y accourait de l’Europe entière pour apprendre à multiplier et à diviser. C’est là que sera abordée la résolution de l’équation du 3e degré et que seront découverts par Cardan (également l’inventeur des joints qui portent son nom) et son disciple Bombelli les nombres imaginaires, qualifiés aussi d’impossibles, ces mystérieuses racines carrées de nombres négatifs. C’était l’acte de naissance des nombres complexes dont l’usage est devenu courant.

- En Angleterre, John Napier, également appelé Néper, inventa les logarithmes en 1614, dans un désir d’accélérer les calculs. Il publia une table des logarithmes népériens et un de ses admirateurs, Henry Briggs , établit en 1617 la première table de logarithmes en base 10 telle que nous la connaissons aujourd’hui. La durée des calculs d’astronomie et de navigation fut considérablement raccourcie Cette invention donna aussi naissance à la règle à calcul, détronée aujourd’hui par nos calculettes modernes.

Ce même John Napier introduisit la virgule dans l’écriture des nombres décimaux dont la première utilisation en Europe est attribuée au Belge Simon Stevin en 1585 dans un ouvrage intitulé La disme.

    - En 1684-1685, Isaac Newton en Angleterre et Gottfried Leibnitz en Allemagne, inventent le calcul infinitésimal (on dit aujourd’hui différentiel) et son inverse, le calcul intégral. Cette percée majeure allait permettre à la Physique de faire un bond en avant gigantesque. 

    - La période qui s’étendit de 1730 à 1830, constitua l’âge d’or de l’analyse : après les nombres de l’arithmétique et les figures de la géométrie, les fonctions deviennent les objets d’étude privilégiés. Cette époque fut dominée par les écoles française et allemande.

    - Après 1830 et jusqu’au milieu du XXe siècle, les mathématiques entament une période de transition vers les mathématiques modernes, marquée par un effort de réorganisation et d’abstraction .C’est ainsi qu’en 1858, Richard Dedekind qui avait fréquenté l’école de Göttingen, alors capitale mondiale des mathématiques, assit les nombres réels sur une base purement arithmétique alors que depuis Euclide ils étaient liés à la géométrie (le nombre était représenté par un segment de droite, le carré et le cube se référaient aux figures correspondantes) . Un autre mathématicien célèbre, Georg Cantor (1845-1918), s’intéressa aux très grands nombres et inventa ce que l’on pourrait appeler « l’arithmétique de l’infini » ; avec Dedekind, il est aussi considéré comme l’inventeur de la théorie moderne des ensembles.

Le zoo des nombres

Depuis peu, des mathématiciens ont éprouvé le besoin de traiter les nombres non pas individuellement mais par groupes. Et c'est ainsi qu’ils ont crée des ensembles ou familles.
Ces ensembles sont le regroupement de différents nombres ayant les mêmes caractéristiques. Ils ont été imaginés vers le début du siècle par des mathématiciens allemands et italiens.

Les ensembles de nombres sont les suivants :

N
Les entiers naturels

C'est l'ensemble des nombres entiers consécutifs supérieurs ou égaux à 0. L'ensemble N fut crée par Peano (1858-1932), et c'est de naturale en italien que provient la lettre N.

Z
les entiers relatifs

C'est l'ensemble des entiers positifs ou négatifs. Le Z, vient de zahl ( nombre ) et zalhen (compter), du fait que son inventeur, Dedekind ( 1831-1916 ) était allemand.

D
Les nombres décimaux

C'est l'ensemble des nombres avec un nombre fini de décimales. L'ensemble D est une notation franco-française issue de la pédagogie des années 1970.

Q
les nombres rationnels

Tous nombre pouvant s'écrire sous la forme d'un quotient. C'est encore Peano qui inventa cet ensemble, Q venant de quotiente en italien.

R
les nombres réels

Tous les nombres. Mis pour real, cet ensemble a aussi été crée par Dedekind.

C
Les nombres complexes

Ensemble des nombres de la forme a + ib. L'emploi de la lettre C provient sans doute d'une convention logique dans la lignée des autres.

Quelques nombres particuliers

Nombres fondamentaux

Certains nombres ont émergé lors de l’élaboration de la théorie des nombres et ont pris une importance telle qu’ils sont d’un emploi quasi permanent dans les calculs. Il s’agit notamment de :

π = 3,14159...

Rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, c’est le plus célèbre.

C’est un nombre irrationnel et transcendant en ce sens qu’il n’est pas algébrique, c’est à dire qu’il n’est pas racine d’un polynôme algébrique

e = 2,71828...

Base des logarithmes népériens et de la fonction exponentielle.

C’est aussi un nombre irrationnel et transcendant.

i = √ -1

Nombre imaginaire car racine carrée d’un nombre négatif.

Nombres sacrés ou mythiques

Dès la plus haute antiquité, les hommes ont attribué aux chiffres et aux nombres une symbolique forte. Ces derniers abondent dans les textes sacrés de toutes les religions montrant qu’aux quatre coins du monde, les hommes y ont vu le moyen d’accéder au divin et d’y découvrir peut-être un message enfoui.

De même s’est développé un art de la numérologie qui, à partir de l’analyse numérique des caractéristiques (nom, prénom, date de naissance) d’un individu, prétend tirer des conclusions sur son caractère et son destin.

Nous ne développerons pas ce très vaste sujet, nous contentant, à titre d’illustration, d’indiquer quelques exemples :

    - le nombre d’or Φ = 1,618...= (1+√ 5)/2

Il était connu des Égyptiens et on en trouve aussi mention dans la Bible. Il exprime une harmonie que beaucoup estiment parfaite, qualifiée aussi de « divine proportion » par Luca Pacioli dans son livre De Divina Proportione. Il semble avoir inspiré de grands artistes, notamment architectes et peintres (par exemple la façade du Parthénon s’inscrit dans un rectangle dont le rapport de la longueur à la largeur est égal à Φ , le tableau de la naissance de Vénus de Botticelli est organisé en fonction de ce nombre...). Il se manifeste aussi dans la Nature notamment en botanique (phyllotaxie).

    - le tetraktys ou la décade

C’est le quadruplet constitué des 4 premiers chiffres 1,2,3,4. Les pythagoriciens lui vouaient un véritable culte. Il était l’être parfait contenant toutes les dimensions de l’espace, le 1 symbolisant le point, le 2 la ligne, le 3 la surface, le 4 le solide et la somme 1+2+3+4 faisant 10. Il traduisait aussi l’harmonie musicale découverte par le Maître, 2/1 est l’octave, 3/2 la quinte, 4/3 la quarte.

    - les symboles de la Bible :

   1 : le commencement - Dieu Père

   2 : la dualité - Dieu Fils

   3 : la perfection - le Saint Esprit

   4 : l’union des 3 en un seul Être

   5 : l’équilibre

   6 : l’imperfection, le mal

   7 : la virginité

   8 : l’infini

   9 : la patience

Et demain ?

Nous venons de parcourir brièvement 300 siècles d’histoire au cours desquels un millier de générations a construit « une discipline ayant pour fin de conduire l’esprit à la contemplation des essences intelligibles » (Platon). Depuis que nos lointains ancêtres ont donné un sens à un, deux, beaucoup, le zoo des nombres s’est considérablement enrichi. Récemment une nouvelle espèce a vu le jour, les nombres p-adiques.

Alors, va-t-on en rester là ? Il serait bien tentant de donner une conclusion, mais il nous semble plus sage de se souvenir de ce conseil de Gustave Flaubert : «  Nous ne savons presque rien et nous voudrions deviner ce dernier mot qui ne nous sera jamais révélé. La rage d’arriver à une conclusion est la plus funeste et la plus stérile des manies ». Ne cherchons donc pas à conclure, mais retenons plutôt ce fait que nous enseigne l’histoire de la progression continue et inéluctable de la connaissance humaine: toute question résolue fait naître une question plus vaste. Soyons donc sûrs que l’aventure des nombres n’est pas terminée.